이 포스팅의 내용은 DirectX 12를 이용한 3D 게임 프로그래밍 입문 (프랭크 D. 루나 저) 책과 인터넷을 참고하여 간단히 정리하였다.

3차원 그래픽에 쓰이는 주된 기하학적 변환은 이동변환, 회전변환, 비례변환이다. 이번 장에서는 3차원 공간의 점과 벡터를 변환하는 데 사용할 수 있는 행렬 방정식을 살펴본다.

• 선형변환

수학 함수  는 3차원 벡터 하나를 입력받아 3차원 벡터 하나를 출력한다. 만일 함수

에 대해 다음과 같은 성질이 성립하면 를 가리켜 선형변환(linear transformation)이라고 부른다.

여기서 와 는 임의의 3차원 벡터이고 는 스칼라이다.

예)

를 생각해보자 예를들어 이다. 그런데 이 함수는 선형변환이 아니다.

에 대해

이지만 

이기 때문이다.

• 행렬 표현

선형변환 의 행렬 표현(matrix representation)은 다음과 같다.

• 비례

비례변환(scaling, 확대·축소)은 물체의 크기를 바꾸는 효과를 낸다.

비례행렬은 다음과 같이 표현한다.

 이를 비례행렬이라하고,  이를 비례행렬의 역이라 한다.

예)

최솟점 (-4, -4, 0)과 최댓점 (4, 4, 0)으로 정의된 사각형을 z축은 그대로 놔두고, x축으로 0.5단위, y축으로 2단위 비례해보자. 이를 비례행렬로 표현하면 다음과 같다.

이제 사각형을 실제로 비례(변환)하려면, 최솟점과 최댓점에 이 행렬을 곱하면 된다.

            

• 회전

회전행렬(rotation matrix)는 다음과 같다.

 여기서 이다.

회전행렬에는 흥미로운 성질이 있는데, 행렬의 각 행벡터는 단위 길이이고, 행벡터들은 서로 직교이다. 따라서 행벡터들은 정규직교이다.

직교행렬에는 그 역행렬이 자신의 전치행렬과 같다는 성질이 있다. 즉, 회전행렬의 역은 다음과 같다.

특히 회전축이 x축이나, y축, z축이면(즉, n = (1, 0, 0)이나 n = (0, 1, 0), n = (0, 0, 1)이면) 회전행렬이 간단해진다.

다음은 각각 x, y, z축에 대한 회전행렬이다.

예)

최솟점(-1, 0, -1)과 최댓점(1, 0, 1)로 정의된 사각형을 y축에 대해 시계방향으로 -30º(반시계방향으로 30º) 회전한다고 하자. 이 경우 n=(0, 1, 0) 이므로 해당 y축 회전행렬을 쉽게 구할 수 있다.(위에 행렬을 그대로 대입)

 이제 실제로 사각형을 회전하려면, 최솟점과 최대점에 이 행렬을 곱하면 된다.

 

• 아핀변환

아핀변환(affine transformation; 또는 어파인변환, 상관변환)은 선형변환에 이동변환(translation transformation)을 결합한 것이다.

아핀변환은 선형변환에 이동벡터 b를 더한 것이다. 이를 수식으로 표현하면 다음과 같다.

• 동차좌표

동차좌표(homogeneous coordinate)는 3차원 벡터에 w 성분을 추가한 네값쌍의 형태인데, 주어진 동차좌표가 점을 나타내느냐 벡터를 나타내느냐는 이 w의 값이 결정한다. 즉,

1. 벡터를 나타내는 동차좌표는 

2. 점을 나타내는 동차좌표는 

이렇게 표기한다.

벡터는 위치와 무관하게 오직 방향과 크기만 서술하는 것이므로, 벡터에 대해서는 이동이 의미가 없다.(벡터의 성분이 바뀌면 벡터의 본질적인 속성인 방향과 크기가 변하므로, 벡터에 이동변환을 적용했을 때 벡터의 성분들이 바뀌어서는 안 된다)

따라서 점에만 이동변환이 제대로 수행될 수 있게끔 위와같은 동차좌표를 이용해야한다.

• 아핀변환의 행렬 표현

w = 1인 동차좌표를 도입하면 아핀변환을 다음과 같이 표현할 수 있다.

b는 본질적으로 하나의 이동(위치 변경)을 나타낸다.

다시 한번 강조하지만 벡터는 위치가 없으므로 벡터에 대해서는 이동을 적용하지 말아야한다. 하지만 아핀변환의 선형변환 부분은 벡터에 적용해야하므로, 벡터의 동차좌표의 넷째 성분을 0으로, 즉 w = 0으로 설정하면 b에 대한 이동은 적용되지 않는다.

• 이동

이동행렬(translation matrix)과 이동행렬의 역은 다음과 같이 표현한다.

                

예)

최솟점 (-8, 2, 0)과 최댓점 (-2, 8, 0)으로 정의되는 사각형을 x축을 따라 12단위, y축을 따라 -10.0단위를 이동한다고 하자. z축 위치는 그대로 둔다. 이러한 이동에 해당하는 이동행렬은 다음과 같다.

이제 이 행렬을 최솟점과 최댓점에 곱하면 사각형이 실제로 이동(변환)한다.

 (점 이므로 4번째 원소(w)가 1임을 명심하자)

• 비례와 회전을 위한 아핀변환 행렬

만약 b=0이면 아핀변환이 그냥 보통의 선형변환과 같음을 기억하자. 따라서, 그 어떤 선형변환이라도 b=0인 아핀변환으로 표현할 수 있다. 이는 임의의 선형변환을 다음과 같이 4 x 4 아핀변환 행렬로 표기할 수 있다는 뜻이다. 예를 들어 비례변환과 회전변환을 각각 다음과 같은 4 x 4 행렬로 표현할 수 있다.

                

이런 방식을 이용하면 배운 모든 종류의 변환을 일관되게 4 x 4 행렬로 나타낼 수 있으며, 점과 벡터를 1 x 4 동차 행벡터로 나타낼 수 있다.

• 변환들의 합성

S가 비례행렬이고, R이 회전행렬, T가 이동행렬이라고 할 때, i=0, 1...~7인 여덟 정점들로 이루어진 직육면체의 각 정점에 이 세 변환을 연달아 적용하려 한다. 이를 수행하는 가장 확실한 방법은 다음처럼 행렬들을 하나씩 차례로 적용하는 것이다.

하지만 행렬 곱셈은 결합법칙을 만족하므로, 이를 다음과 같이 표기해도 된다.

이러한 합성은 성능에 영향을 미친다. 첫 번째 방법처럼 세 가지 기하 변환을 연달아 적용한다고 가정하면, 벡터 대 행렬 곱셈이 20,000 x 3회 필요하다.

하지만 두 번째 방법처럼 합성시키면 벡터 대 행렬 곱셈 20,000회에 행렬 대 행렬 곱셈 2회면 된다.

• 좌표 변경 변환

물은 섭씨 100도에서 끓는다. 하지만 화씨에서는 물이 100도에서 끓지 않는다. 이는 체계의 기준 차이때문이다. 물은 언제나 동일한 온도에서 끓는다.

위 예처럼 좌표계마다 좌표를 표현하는 방법이 다르다. 하지만 기하구조 자체가 변하는 것은 아니다. 한 좌표계의 좌표를 다른 좌표계의 좌표로 변환하는 것을 좌표 변경 변환(change of coordinate transformation)이라고 부른다.

점에 대한 좌표계 변환과 벡터에 대한 좌표계 변환은 서로 다르다.

하지만 동차좌표를 이용하면 서로 다른 두 공식을 하나로 표현할 수 있다. 이전에도 말했다시피 w의 성분만 적절히 설정하면 된다.(w = 0이면 벡터에 대한 좌표 변경 변환 공식이되고, w = 1이면  점에 대한 좌표 변경 변환 공식이 된다.)

이에대한 좌표 변경 행렬(change of coordinate matrix)는 다음과 같다.

이 포스팅의 내용은 DirectX 12를 이용한 3D 게임 프로그래밍 입문 (프랭크 D. 루나 저) 책과 인터넷을 참고하여 간단히 정리하였다.

• 행렬의 정의

행렬의 한 성분을 나타낼 때는  이런 형태로 표기한다. 아래 첨자 첫 번째는 행이고 두 번째는 열이다. (i가 행, j가 열)

예)

행렬 A는 4 x 4 행렬이고, 4행 3열 즉, 은 를 의미한다. 특히, 행과 열의 갯수가 같은 행렬을 정방행렬(square matrix)라고 한다.

• 행렬의 상등, 덧셈, 스칼라 곱셈, 뺄셈의 연산

1. 두 행렬이 같은 조건은 두 행렬의 행과 열의 갯수가 같아야 하며(즉, 두 행렬의 차원이 같아야 한다.) 대응되는 성분들이 모두 같아야만 두 행렬은 같다고 한다.

2. 두 행렬을 더할 때는 대응되는 성분들을 더한다. 따라서 차원이 같은 행렬들만 더할 수 있다.

3. 행렬에 하나의 스칼라를 곱할 때는 행렬의 모든 성분에 그 스칼라를 곱한다.

4. 행렬의 뺄셈은 스칼라 곱셈과 행렬 덧셈으로 정의한다. 즉, A - B = A + (-1 · B) = A +(-B) 이다.

예)

위와 같은 행렬이 있을 때

1. A + B = 

2. A = C

3. 3D = 

4. A - B = 

행렬 덧셈과 스칼라 곱셈은 성분별로 이루어지므로, 행렬 덧셈과 스칼라 곱셈도 실수의 덧셈 및 곱셈의 다음과 같은 성질들을 만족한다.

1. A + B = B + A                    덧셈의 교환법칙

2. (A + B) + C = A + (B + C)     덧셈의 결합법칙

3. r(A + B) = rA + rB               행렬들에 대한 스칼라의 분배법칙

4. (r+s)A = rA +sA                  스칼라들에 대한 행렬의 분배법칙

• 행렬의 곱셈

A가 m x n 행렬이고, B가 n x p 행렬이면 둘의 곱 AB가 정의된다. 곱 AB는 하나의 m x p 행렬이다. 두 행렬의 곱을 C라고 할 때, C의 ij번째 성분은 A의 i번째 행벡터와 B의 j번째 열벡터의 내적이다.

즉, 이다.

행렬 곱 AB가 정의되려면 A 행렬의 열의 개수와 B 행렬의 행의 개수가 일치해야 한다. 차원이 일치하지 않으면 두 곱은 정의되지 않는다.

예)

이 두 행렬이 있을 때 A의 열의 개수는 2이고, B의  행의 갯수는 3이므로 곱셈이 정의되지 않는다.

이 두 행렬이 있을 때 A의 열의 개수는 3이고, B의 행의 갯수는 3이므로 두 행렬의 곱셈이 정의된다.

주의할 점은 곱 BA는 정의되지 않는다. 왜냐하면 B의 열 개수는 3이지만, A의 행 개수는 2이기 때문이다. 이렇듯 행렬의 곱셈은 일반적으로 교환법칙이 성립하지 않는다.

• 분배법칙과 결합법칙

행렬 곱셈에는 몇 가지 대수적 성질이 존재하는데, 우선 행렬 곱셈은 덧셈에 대한 분배법칙을 만족한다.

즉, A(B + C) = AB + AC이다.

또, 결합법칙을 만족하기 때문에 행렬을 곱하는 순서를 적절히 선택할 수 있다.

(AB)C = A(BC)

• 전치행렬(transpose matrix)

행렬의 전치(transpose), 즉 전치행렬은 행렬의 행들과 열들을 맞바꾼 것이다. 따라서 m x n 행렬의 전치는 n x m 행렬이다. 행렬 M의 전치행렬을 로 표기한다.

예)

이 행렬의 전치행렬을 구하면

이렇게 된다.

전치행렬의 유용한 성질

1. 

2. 

3. 

4. 

5. 

• 단위행렬(identity Matrix)

단위행렬은 정방행렬(열 개수와 행 개수가 같은 행렬)에서 좌상에서 우하로의 대각선에 있는 성분(이를 주대각(main diagonal) 성분이라 한다.)들을 1로 채운 행렬을 말한다.

즉, 단위행렬은 좌상에서 우하로의 대각선 성분들만 1이고 나머지는 0인 정방행렬이다.

예)

2 x 2, 3 x 3, 4 x 4의 단위행렬이다.

단위행렬은 곱셈의 항등원 역할을 한다.

A가 m x n 행렬이고, B가 n x p 행렬, I가 n x n의 단위행렬이면 반드시

AI = A이고 IB = B이다.

다른 말로 하면, 어떤 행렬에 단위행렬을 곱해도 그 행렬은 변하지 않는다.

특히, M이 정방행렬일 때 단위행렬과의 곱셈은 교환법칙이 성립한다.

IM = MI = M

• 행렬식(determinant)

행렬식의 정의는 '정방행렬을 입력받아서 실숫값을 출력하는 특별한 함수'이다. 정방행렬 A의 행렬식은    det A    로 표기한다.

행렬식은 행렬의 역을 구할 때 사용된다. 또한 다음과 같은 정리가 있다.

정방행렬 A는 만일 이면 그 때에만 역행렬이 존재한다. (가역행렬이라고도 한다)

행렬식을 정의하기 전에 소행렬이라는 개념부터 알고 가는 게 좋을 것 같다.

• 소행렬(minor matrix)

n x n 행렬 A가 주어졌을 때, 그 소행렬 는 A의 i번째 행과 j번째 열을 삭제해서 나온 (n - 1) x (n - 1) 행렬이다.

예)

이런 행렬이 있을 때, 각각의 소행렬은 다음과 같다.

• 행렬식의 정의

행렬의 행렬식은 재귀적으로 정의된다. 예를 들어 4 x 4 행렬의 행렬식은 3 x 3 행렬의 행렬식들로 정의되고, 3 x 3 행렬의 행렬식은 2 x 2 행렬의 행렬식들로 정의된다.

공식)

A가 n x n 행렬이고, n > 1일 때, A의 행렬식은

예)

이 행렬의 행렬식을 구하라

2 x 2 행렬의 행렬식을 계산할 때는 ad - bc를 해주면 된다.

• 딸림행렬(adjoint matrix)

A가 n x n 행렬이라고 할 때, 곱 를 의 여인수(cofactor)라고 부른다.

A의 각 성분에 여인수 를 계산해서 해당 번째 위치에 넣은 행렬을 여인수 행렬(cofactor matrix)이라고 부른다.

↑여인수 행렬

그리고 이 여인수 행렬의 전치행렬을 딸림행렬이라고 부르고 다음과 같이 표기한다.

딸림행렬을 이용하면 행렬의 역을 계산하는 공식을 이용할 수 있다.

• 역행렬(inverse matrix)

행렬 대수에서 곱셈의 역원을 행렬의 역(inverse) 또는 역행렬이라고 부른다.

다음은 역행렬의 주요 정보이다.

1. 역행렬은 정방행렬에만 있다. 따라서 역행렬이라 하면 정방행렬이라는 의미가 내포되어있는 것과 같다.

2. n x n 행렬 M의 역은 n x n 행렬이며, 로 표기한다.

3. 모든 정방행렬에 역행렬이 있는 것이 아니며, 역행렬이 있는 행렬을 가역행렬(invertible matrix)이라고 부르고, 역행렬이 없는 행렬을 특이행렬(singular matrix)이라고 부른다.

4. 역행렬이 존재하는 경우 그 역행렬은 고유하다.

5. 행렬에 그 역행렬을 곱하면 단위행렬이 나온다. 즉, 이다. 행렬과 그 역행렬의 곱셈은 행렬의 곱셈에서 교환법칙이 성립하는 특이한 경우다.

지금까지 소행렬과 행렬식, 딸림행렬을 공부한 이유는 역행렬의 공식을 사용하기 위함인데, 역행렬의 공식은 다음과 같다.

역행렬 공식)

참고로 4 x 4 행렬 이하의 경우 딸림행렬을 이용한 계산법이 효율적이지만, 그 이상의 행렬을 처리할 때에는 가우스 소거법 같은 방법이 쓰인다.

마지막으로, A와 B가 같은 차원의 가역 정방행렬이라 할 때 다음 성질이 성립한다.

증명)

이 포스팅의 내용은 DirectX 12를 이용한 3D 게임 프로그래밍 입문 (프랭크 D. 루나 저) 책과 인터넷을 참고하여 간단히 정리하였다.

• 벡터의 정의

'벡터(vector)'는 크기와 방향을 모두 가진 수량을 가리키는 말이다.

벡터의 예로는 힘(force)이 있다. 힘은 특정한 방향과 세기로 가해지기 때문이다. 

개미가 북쪽으로 10미터 나아가는 것도 벡터라고 할 수 있다. 크기는 10미터이고 방향은 북쪽이 된다.

벡터는 위 그림과 같이 표현할 수 있다.

선분의 길이는 벡터의 크기를 나타내고, 화살표는 방향을 나타낸다.

화살표가 있는 방향을 '머리'라 하고, 화살표가 없는 반대편을 '꼬리'라고 한다.

벡터의 중요한 성질은, 위치는 무관하다는 것이다.

그러니까 크기와 방향이 같다면 그 위치가 달라도 두 벡터는 동일하다.

• 왼손잡이 좌표계와 오른손잡이 좌표계

3차원 공간에 벡터를 표현하려면 3개의 점을 이용한다.    ex)    

• 기본적인 벡터 연산들

1. 두 벡터가 동일하려면 각 좌표의 성분이 모두 같아야만 동일하다.

ex)

일때에만  이다.

2. 벡터의 덧셈은 각 성분별로 이루어진다.

ex)

3. 벡터에 스칼라(scalar, 크기만 있는 것)를 곱할 수 있으며 벡터에 스칼라를 곱하면 결과는 벡터이다.

ex) 스칼라 K를 벡터 V에 곱하면 

4. 벡터의 뺄셈은 벡터 덧셈과 스칼라 곱셈을 통해서 정의된다.

ex)

참고로 벡터에 부호를 바꾸면 방향이 완전 반대가 된다.    벡터에 스칼라를 곱셈하면 벡터의 크기(길이)가 늘어난다.

• 벡터의 크기

    <- 벡터의 크기는 수식으로 이렇게 표현한다. 벡터의 크기는 피타고라스의 정리를 2번 이용하면 나오는 데 어려운 이야기는 건너뛰고 벡터 크기의 공식은 아래와 같다.

• 단위 벡터(unit vector)

벡터의 크기는 중요하지 않고, 방향만 필요할 때가 있다. 그럴 때 단위 벡터를 사용하고, 어떤 벡터를 단위 벡터로 만드는 것을 정규화(normalization)이라고 부른다. 벡터의 각 성분을 벡터의 크기로 나누면 벡터가 정규화된다.

• 벡터의 내적(dot product)

• 벡터의 외적(cross product)

또 다른 벡터의 곱셈으로는 외적이 있다.

내적은 결과가 스칼라가 나왔지만 외적은 벡터가 나온다. 또한 외적은 3차원 벡터에 대해서만 적용된다.(2차원 벡터는 외적이라는 개념이 없다)    그리고 외적은 교환법칙이 성립되지 않는다.

외적을 이용하면 두 벡터의 직교인 벡터가 나온다.

    두 벡터가 있을 때 이 둘을 외적한 벡터 w는 아래와 같이 구할 수 있다.

외적한 벡터 w는 벡터 u와 벡터 v에 대해서 직교인 벡터이다.

왼손을 펼쳐서 첫 벡터 u의 방향을 가리킨 상태에서 둘째 벡터 v의 방향(첫 벡터와의 각도가 90도 이하가 되는 쪽)으로 말아쥐었을 때 엄치 손가락이 가리키는 방향이 바로 w(직교 벡터) = u x v의 방향이다. 이를 왼손 엄지 법칙(left-hand-thumb rule)이라 부른다. 위 그림을 보고 직접 한번 해보면 이해가 빠르게 될 것이다.

• 위치 벡터(점)